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我们日常生活中使用的手机和电脑都离不开一个心脏——CPU。为什么这枚小小的电子元件能够理解指令、进行计算，甚至运行起复杂的游戏？让我们看看 CPU 的背后究竟用了什么魔法吧。 作者：emmm 审核：赖渊、silverxz   在序篇里我们聊到，当你双击打开软件、在表格里计算一组数字的总和，或者在文档里敲下一行字时，背后都是 CPU 在按照软件给出的操作步骤，一条接一条地执行指令。   但如果你把一块 CPU 拆开放在显微镜下，里面只有密密麻麻、数以百亿计的微小电路。在这里，哪怕你注意力再惊人也无法直接看出进行计算的“计算器”以及存数据的“小本本”。   这不由得让人好奇：一堆通上电的金属和硅片，到底是怎么学会“算数”和“判断”，又是怎么一步步把程序跑起来的？要解开这个谜题，我们可以要先看看芯片最底层长什么样。 一、会算账的电路   我们平时算数习惯用十进制，但在电路的世界里，想要精准区分十种不同的电压太容易出错了——稍微受点干扰，数字“5”就可能被误读成“6”（如果后面我们有机会科普到信号的话，你也会更好理解这部分了，干扰大的地方网速慢的原因与此类似）。最稳妥的办法，是只区分两种截然不同的状态：高电平（有电，1）和低电平（没电，0）。   这就是计算机采用二进制的原因。一个只能表示“0”或“1”的最小信息单位，就叫做一个位（Bit，也称比特）。把许多个“0”和“1”排成一排，就能表示任意大小的数字、文字乃至程序指令。   有了表示数字的方法，电路又是怎样处理这些 0 和 1 的呢？答案就在一种叫 MOSFET（金属-氧化物-半导体场效应晶体管）的微小元件里。   我们不需要深究它复杂的半导体物理细节（读者如果好奇可以去了解下掺杂，但我们的科普不涉及它们），只需要把它看作一个用电压控制的自动开关：控制端给高电平，开关就导通；给低电平，开关就断开。（在实际芯片中，工程师 ...

“我最怕别人突然给我转50块钱了！”你以为这只是现代网友的玩笑？其实早在宋朝，就有人靠假装害怕馒头骗来了一顿大餐，这便是“怕什么来什么”的笑话。 更有趣的是，这个笑话后来竟然漂洋过海，传入日本，演变成了家喻户晓的经典落语。一个看似简单的段子，为什么能流传近千年？让本文带你追溯一则古老笑话的奇妙旅行吧。 作者：silverxz 审核：司徒陌   或许你觉得这只是一句简单的抖机灵，其实这一“机灵”由来已久。早在宋朝叶梦得所著的《避暑录话》中，就有一个几乎相同的笑话。   读书而不应举则已矣，读书而应举，应举而望登科，登科而仕，仕而以叙进，茍不违道于义，皆无不可也。而世有一种人，既仕而得禄，反嘐嘐然以不仕为高，若欲弃之者，此岂其情也哉！故其经营有甚于欲仕，或不得间而入，或故为小异以去，因以迟留，往往遂窃名以得美官而不辞，世终不寤也。有言穷书生不识馒头，计无从得。一日，见市肆有列而鬻者，辄大呼仆地，主人惊问，曰：“吾畏馒头。”主人曰：“安有是理？”乃设馒头百许枚，空室闭之，徐伺于外，寂不闻声，穴壁窥之，则以手搏撮食者过半矣。亟开门诘其然，曰：“吾见此，忽自不畏。”主人知其绐，怒而叱曰：“若尚有畏乎？”曰：“有。犹畏腊茶两碗尔。”此岂求不仕者也。   笑话说，有穷书生不识馒头，见集市有卖的，就大叫一声倒在地上，说“我怕馒头”。卖家不信，把他关在有一百多个馒头的屋子里，却听不见动静。等他一看，馒头已经被吃了一多半了。卖家生气：“你还有什么怕的？”书生说：“有，还怕两碗腊茶。”   此书著于南宋绍兴五年（1135年），是笔者能考证到的这类笑话的最早出处。结合前后议论可以看出，叶梦得讲这个笑话，是为了讽刺那些拿了高官厚禄还假意想要弃官的人。   这个笑话说的是馒头，但别忘了，宋代的馒头很可能是肉馅包子。读者可能还记得《水浒传》里的十字坡，“肥的切做馒头馅，瘦的却把去填河”。宋 ...

一个人一天消耗的能量，究竟能烧开多少水？答案可能超乎你的想象！ 从人体代谢到卡路里与电能的换算，本文带你看看每天默默运转的身体究竟有多耗能。 作者：秋风熙 审核：司徒陌 你一天能烧多少开水？   众所周知，人需要摄入能量来维持自己的代谢、运动等日常活动，而把水加热至沸腾的过程中也需要吸收能量。那么正如标题，今天探讨的就是我们人一天所消耗的能量，能把多少水烧开呢？   人一天消耗的热量称为每日总能量消耗（Total Daily Energy Expenditure），简称TDEE，其中用于维持心跳、呼吸、血液循环和体温等最基础的生理运转的能量大约占60%-70%左右，这部分能量称为基础代谢率（Basal Metabolic Rate），简称BMR；其余的能量消耗则用于行走、站立、消化食物等日常活动。目前有非常多估算BMR的公式，本文使用的是Mifflin-St Jeor公式，这是目前比较准确的估算基础代谢率的公式之一，由Mifflin等人于1990年提出。它主要通过体重、身高、年龄和性别四个变量来预测人体的静息能量消耗： BMR男性(kcal)=10×体重(kg)+6.25×身高(cm)−5×年龄(years)+5\mathrm{BMR}_{\textbf{男性}}(\mathrm{kcal}) = 10×\text{体重}(\mathrm{kg}) +6.25 ×\text{身高}(\mathrm{cm})- 5 ×\text{年龄}(\mathrm{years})+ 5 BMR男性​(kcal)=10×体重(kg)+6.25×身高(cm)−5×年龄(years)+5 BMR女性(kcal)=10×体重(kg)+6.25×身高(cm)−5×年龄(years)−161\mathrm{BMR}_{\textbf{女性}}(\mathrm{kcal})= 10×\text ...

最近，OpenAI 发布的一批算法研究成果引发关注，其中有两条是：整数乘法/FFT极限的时间复杂度可以突破 O(n log n)。然而早在1972年，研究者就已经证明整数乘法至少需要 Ω(n²) 的计算代价。是谁错了？ 为什么同一个问题会得到截然不同的结论？本文从整数乘法、矩阵乘法到 FFT，带你揭开算法复杂度背后容易被忽略的前提。 作者：silverxz 审核：emmm   2026 年 10 月 6 日，OpenAI 发布了 722 篇论文的草稿，其中不乏理论计算机科学领域的重要成果（若核实为正确），尤其是一些经典问题上的令人惊讶的复杂度改进。然而，许多人在传播这些成果的时候，做了过度的简化。有人这样列举： … 编号 130，FFT 极限并不是 O(n(log⁡n))O(n (\log n))O(n(logn))，可以达到 O(n(log⁡n)1−ε)O(n (\log n)^{1 - \varepsilon})O(n(logn)1−ε)。 编号 109，整数乘法也不是 O(n(log⁡n))O(n (\log n))O(n(logn))，可以达到 O(n(log⁡n)1−ε)O(n (\log n)^{1 - \varepsilon})O(n(logn)1−ε)。 …   这种列举可能有利于传播，却不利于理解这些结果的实际含义，甚至有误导之嫌。它把「问题」和「复杂度」列举出来，建立起了一种可能误导他人的对应关系，却忽视了同样必不可少的第三个对象——决定如何衡量复杂度的「计算模型」(model of computation)。这就是本文要介绍和澄清的：在谈论算法复杂性之前，要先弄清楚它采用的计算模型是什么，仅仅盯着一个大O记号是不够的。   OpenAI 发布的这些待验证成果恰好涵盖了各种各样的计算模型，我们可以在讲解的同时，以它们为例子，理解这些成果的含义。 ...

看到毛茸茸的小猫小狗，你有没有冒出过“好想捏爆它”、“想一屁股坐死”的毁灭冲动？先别怀疑自己是不是反社会，这种心理其实有个正经名字叫“可爱攻击性”。为什么越觉得可爱的事物，反而越容易产生欺负它的冲动呢？这篇文章就来带你看看大脑是怎样处理“可爱过载”的。 作者：阿氯 审核：司徒陌   当你刷到可爱的“哈基米”“哈基汪”的视频，你会不会想要捏它，甚至一口吞掉它？   再当你反应过来这样很残忍的时候你可能有点慌——“我是不是有点暴力倾向，或者觉得自己有点心理变态？”   别担心~这其实是一种非常普遍的心理现象，心理学上管它叫“可爱攻击性”（cute aggression）。 这个现象，心理学家早就注意到了   2013年，耶鲁大学的两位心理学研究者——奥里亚娜·阿拉贡（Oriana Aragón）和丽贝卡·戴尔（Rebecca Dyer）——第一次对这种现象做了系统研究，并正式给它取了名字。   她们发现，这种“想捏爆”的冲动并不是少数人的怪癖，而是一种有规律可循的心理反应。2015年，她们在《心理科学》期刊上发表论文，提出了一个核心概念——二态情绪表达：当一种情绪强烈到“装不下”的时候，身体会用相反的方式来“泄压”。   就像你太高兴了会喜极而泣，太紧张了反而会笑场，可爱攻击性也是同一个道理。 简单说：你的大脑“快乐过载”了   当你看到一只毛茸茸的小猫、一只肉嘟嘟的幼犬，大脑的快乐系统会瞬间“炸开”，兴奋感像洪水一样涌进来，多到身体装不下。   这时候大脑就会慌：再这么兴奋下去，你就要“萌到原地宕机”了。   于是它赶紧踩刹车——用一种看似“攻击性”的冲动（想捏、想咬、想揉）来泄掉一部分情绪，把你从“被萌瘫”的边缘拉回来。   所以本质上，这不是暴力，而是大脑在帮你“冷静一下”。 图1“萌鼠人了” 大脑里有一架“情绪跷跷板”   你可以把大脑里的情绪调节器想象成 ...

“十五的月亮十六圆”，真的只是一句顺口的老话吗？为什么今年中秋的满月实际上在十七？从月球轨道、朔望月到中国历法与中秋习俗，这篇文章带你拆开一轮圆月背后的天文规律与千年历法。 作者：Einstein.？ 审核：星海中的蓝玫瑰 引子：一句老话里的疑问   中秋佳节即将来临，和家人团聚，共同欣赏天上的那一轮明亮的满月——等等，真的是满月吗？经过查询，我们发现今年的八月十五是盈凸月，月亮照射范围98%，而在八月十七那天是满月，月亮照射范围是100%。看来今年的中秋，确实和那句老话相符—— “十五的月亮十六圆”。但，为什么偏偏是十六圆呢。这背后却藏着一套关于农历、月亮轨道和时间的精细规则。要讲清楚它，得从月亮本身说起。 图1 月亮为什么会有圆缺？   首先，月亮本身不发光的，我们看到的月光，其实是月球反射的太阳光。随着月亮绕地球公转，太阳、地球、月亮三者的相对位置不断变化，我们看到的月亮被照亮部分也随之变化，这就是月相。   在北半球的一个完整的月相周期里，有四个关键节点。 朔（新月）：月亮运行到太阳和地球之间，月球朝向我们的半球基本处于背光状态，从地球上看几乎不可见。这一天被定为农历初一。 上弦：在北半球观察时，朔之后约七天半，月亮、地球、太阳大致成直角，我们看到月亮右半边亮，呈半圆，大约在农历初七、初八。 望（满月）：地球位于太阳和月亮之间，月亮被照亮的一面完全朝向地球，一轮圆月整夜可见，通常在农历十五、十六。 下弦：在北半球观察时，望之后约七天半，月亮、地球、太阳再次成直角，我们看到月亮左半边亮，大约在农历二十二、二十三。   从朔到望再到下一次朔，构成一个完整的循环，也就是一个完整的月相演变了。 朔望月：农历的“月份”基础   从一次朔到下一次朔的平均时间，叫朔望月，约为 29.53059 天，也就是 29 天 12 小时 44 分左右。   我们可以发现， ...

你似乎曾看到一个结论，告诉你“自然数和偶数一样多”。但事实真的如此吗？ 从伽利略悖论到康托原则，本文将带你走进一场关于“无穷”的哲学争论。 作者：silverxz 审核：ΔδDelta\Delta\delta DeltaΔδDelta   无穷集合的大小应该怎么比较呢？比如，自然数和偶数，谁更多？   读者或许已经从许多科普中看到过“结论”：自然数和偶数一样多。证明是这样的：考虑从自然数集到偶数集的映射 n↦2nn\mapsto 2nn↦2n，它给出了全体自然数和全体偶数之间的一个一一对应关系，每个自然数都对应于一个偶数，且每个偶数也被唯一的自然数对应。   为了避免读者把“一一”看成破折号，我们之后使用一一对应的同义词，“双射”，倘若读者看这个词有点迷糊，也可以在头脑中翻译回一一对应。上面定义了自然数集到偶数集的一个双射。证明称，由于它们存在双射，自然数和偶数一样多。   类似地，还可以得到自然数、偶数、奇数、整数、质数……全都是一样多。在今天，这种说法越来越频繁地出现在公众视野中，几乎要变成一种常识了。比如在游戏《崩坏：星穹铁道》中，就出现过询问自然数和质数谁更多的题目，而标准答案是一样多[1]。   然而，真的是这样吗？   回顾整个证明，它的论证是这样的： 自然数集和偶数集之间存在双射； 若两个集合之间存在双射，则它们的元素数量一样多； 所以自然数和偶数一样多。   第一条是我们已经证明了的数学事实，没有问题。问题出在第二条：为什么两个集合存在双射，它们的元素数量就一样多？   这个问题不是某条数学定理能回答的，因为它其实是在问，对于无穷集合而言，你怎么定义什么叫“元素数量一样多”？哪个定义刻画了你心中的一样多？——以及，你心中的“一样多”是什么？这实际上已经是一个数学哲学问题，而这就是我们今天要讨论的。为此，我们一起来看一个“古老”的例子。   通常 ...

数学证明一定要一步一步找到答案吗？数学家 Erdős 给出了一个奇妙的思路：我们只要能证明“随机选择有机会成功”，就能证明答案一定存在。泡杯咖啡，让我们一起欣赏这些艺术般的证明吧。 作者：silverxz 审核：phy东西 Paul Erdős 图像来源：zbmath   Paul Erdős 不算是那种家喻户晓的数学家，但在数学界内部无人不知无人不晓。他的确是一位传奇数学家，建树颇多、涉猎广泛，在数论、集合论、分析、几何等领域也各有不凡的成果，在组合数学领域的地位更是无可动摇。   有许多他的逸闻趣事可以聊，比如他独特的生活方式和研究数学的方式、他才华横溢的种种体现……读者也可以在其他地方了解到，但那些不是我们今天的主题。我们今天打算介绍的是 Erdős 发扬的一种非常有趣的数学技巧，叫做概率方法 (probabilistic method).   你可能感到困惑：这是概率论里的什么方法吗？为什么说得这么笼统、这么模糊？   请不要误解，概率方法不是概率论里面的方法，概率方法的思路是：对一个与概率无关的确定性问题，人为引入一些构造出的概率结构，用概率论工具去分析它，得到一个概率相关的结果，再基于此得到原本想要的确定性的结果。也可以说，概率方法是“在非概率问题中引入概率结构解决问题”的一种方法，这里的概率完全是解决问题的脚手架，就像是平面几何的辅助线一样。   但这就是它神奇的地方。一个与概率无关的问题，怎么能引入概率呢？那真的有用吗？   这篇文章中，我们就介绍几个有趣的小例子，看一看这一方法究竟是如何起到作用的。人们通常认为，Erdős 的概率方法是组合数学领域的一种方法。但事实上，这种方法的应用远远不限于组合数学。接下来我也会选取各个领域的例子，这些例子都是甜点级的，不会有太大的阅读负担。虽然总篇幅较长，但这是讲得较细的缘故，实际阅读速度会比通常的数学类文章快 ...

今夏，一年一度的英仙座流星雨如约而至。为什么流星雨每年都会准时出现？又为什么要用星座给它们命名？让我们从一颗太空尘埃出发，看见流星背后的宇宙轨迹。 作者：emmm 审核：司徒陌   夜空中最短暂也最璀璨的“烟火”，大概就是流星了。漆黑的天幕上，一道亮光毫无预兆地撕开夜色，须臾之后又消失得无影无踪，只留下一片惊呼。眼下，英仙座流星雨正迎来极大期，全年最适合“偶遇”流星的时刻已经到来。但你在对着天空惊叹之前，有没有想过——那道光的背后，究竟藏着什么？ 什么是流星？   在正式介绍它之前，我们先来了解一下几个容易被混淆的概念：流星体、流星和陨石。在国际天文学联合会的术语体系里，三个词对应三个不同阶段： 流星体（meteoroid）：沿太阳轨道运行的固态颗粒。你可以把它理解成一颗细小的、在太空中飞行的“沙粒”。 流星（meteor）：流星体闯入地球大气层，燃烧发光的过程和现象。它相当于一颗“太空尘粒”在大气中留下的一条瞬间发光轨迹。 陨石（meteorite）：如果这颗尘粒足够大，没烧完，落地后幸存下来的残骸。陨石是实实在在能摸到的石头。   对于流星体，最小的微流星体只有几十微米，比头发丝还细，重亿分之一克。它们进入大气层时会极其缓慢地减速（因为质量太小，空气阻力迅速抵消速度），不会产生肉眼可见的亮光，而是缓缓飘落，最终变成大气中的悬浮颗粒；我们肉眼看到的流星，其流星体质量通常在几毫克到几千克之间，大小从一粒盐到一个篮球不等。更大的流星体，比如直径几米乃至几十米的物体进入大气层，它们往往会在夜空划出刺眼的强光，就不被简单叫流星了，而被称作“爆炸”的火流星（fireball），它们中的一些“强者”甚至能引发陨石坑，不过这类事件极其罕见。 图像右上角可见一颗明亮的火流星 图像来源：Roy S.   上面还提到了一个叫作“火流星”的概念。简单地说，能比“夜空中最亮的行星” ...