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数学证明一定要一步一步找到答案吗？数学家 Erdős 给出了一个奇妙的思路：我们只要能证明“随机选择有机会成功”，就能证明答案一定存在。泡杯咖啡，让我们一起欣赏这些艺术般的证明吧。 作者：silverxz 审核：phy东西 Paul Erdős 图像来源：zbmath   Paul Erdős 不算是那种家喻户晓的数学家，但在数学界内部无人不知无人不晓。他的确是一位传奇数学家，建树颇多、涉猎广泛，在数论、集合论、分析、几何等领域也各有不凡的成果，在组合数学领域的地位更是无可动摇。   有许多他的逸闻趣事可以聊，比如他独特的生活方式和研究数学的方式、他才华横溢的种种体现……读者也可以在其他地方了解到，但那些不是我们今天的主题。我们今天打算介绍的是 Erdős 发扬的一种非常有趣的数学技巧，叫做概率方法 (probabilistic method).   你可能感到困惑：这是概率论里的什么方法吗？为什么说得这么笼统、这么模糊？   请不要误解，概率方法不是概率论里面的方法，概率方法的思路是：对一个与概率无关的确定性问题，人为引入一些构造出的概率结构，用概率论工具去分析它，得到一个概率相关的结果，再基于此得到原本想要的确定性的结果。也可以说，概率方法是“在非概率问题中引入概率结构解决问题”的一种方法，这里的概率完全是解决问题的脚手架，就像是平面几何的辅助线一样。   但这就是它神奇的地方。一个与概率无关的问题，怎么能引入概率呢？那真的有用吗？   这篇文章中，我们就介绍几个有趣的小例子，看一看这一方法究竟是如何起到作用的。人们通常认为，Erdős 的概率方法是组合数学领域的一种方法。但事实上，这种方法的应用远远不限于组合数学。接下来我也会选取各个领域的例子，这些例子都是甜点级的，不会有太大的阅读负担。虽然总篇幅较长，但这是讲得较细的缘故，实际阅读速度会比通常的数学类文章快 ...

今夏，一年一度的英仙座流星雨如约而至。为什么流星雨每年都会准时出现？又为什么要用星座给它们命名？让我们从一颗太空尘埃出发，看见流星背后的宇宙轨迹。 作者：emmm 审核：司徒陌   夜空中最短暂也最璀璨的“烟火”，大概就是流星了。漆黑的天幕上，一道亮光毫无预兆地撕开夜色，须臾之后又消失得无影无踪，只留下一片惊呼。眼下，英仙座流星雨正迎来极大期，全年最适合“偶遇”流星的时刻已经到来。但你在对着天空惊叹之前，有没有想过——那道光的背后，究竟藏着什么？ 什么是流星？   在正式介绍它之前，我们先来了解一下几个容易被混淆的概念：流星体、流星和陨石。在国际天文学联合会的术语体系里，三个词对应三个不同阶段： 流星体（meteoroid）：沿太阳轨道运行的固态颗粒。你可以把它理解成一颗细小的、在太空中飞行的“沙粒”。 流星（meteor）：流星体闯入地球大气层，燃烧发光的过程和现象。它相当于一颗“太空尘粒”在大气中留下的一条瞬间发光轨迹。 陨石（meteorite）：如果这颗尘粒足够大，没烧完，落地后幸存下来的残骸。陨石是实实在在能摸到的石头。   对于流星体，最小的微流星体只有几十微米，比头发丝还细，重亿分之一克。它们进入大气层时会极其缓慢地减速（因为质量太小，空气阻力迅速抵消速度），不会产生肉眼可见的亮光，而是缓缓飘落，最终变成大气中的悬浮颗粒；我们肉眼看到的流星，其流星体质量通常在几毫克到几千克之间，大小从一粒盐到一个篮球不等。更大的流星体，比如直径几米乃至几十米的物体进入大气层，它们往往会在夜空划出刺眼的强光，就不被简单叫流星了，而被称作“爆炸”的火流星（fireball），它们中的一些“强者”甚至能引发陨石坑，不过这类事件极其罕见。 图像右上角可见一颗明亮的火流星 图像来源：Roy S.   上面还提到了一个叫作“火流星”的概念。简单地说，能比“夜空中最亮的行星” ...

⚠️这是一篇“有味道”的科普文！ 为什么不管吃什么，大多数时候便便都是黄褐色？这个颜色究竟来自食物，还是来自身体内的一场“史”诗般的旅程？看完这篇文章，你不仅会知道便便为什么是黄褐色，还能了解不同颜色的便便背后可能隐藏的秘密。 作者：阿氯，时光 审核：司徒陌   上完厕所之后，你大概不会仔细端详自己的便便吧。但是如果偶尔看一眼，就会发现便便基本都是黄褐色的——不管吃的是红烧肉还是青菜，最后出来的便便基本都是这个颜色（也有少数食物能够给便便染色，比如火龙果）。而一般正常的便便之所以呈现黄褐色，主要来自胆红素（bilirubin）在人体中经过一系列反应后形成的粪胆素（stercobilin）。   好吧，看上去罪魁祸首就是“胆红素”了。那胆红素是怎么来的呢？   健康成年人的红细胞寿命平均为 115 天。在我们的身体中，每天都有一些红细胞在衰老，这些衰老或受损的红细胞最终会被脾脏、肝脏和骨髓等处的单核吞噬细胞清除。衰老红细胞中的血红蛋白被拆解后，其中一种叫血红素（Heme）的成分会先在血红素加氧酶 HO-1 的作用下形成绿色的胆绿素（biliverdin），随后又在胆绿素还原酶 BVR 的催化下生成橙黄色的非结合胆红素（unconjugated bilirubin）。   非结合胆红素本身难溶于水，但与白蛋白结合后形成的胆红素－白蛋白复合体就可以进入血液循环了。进入肝细胞后，在葡萄糖醛酸基转移酶的催化下，非结合胆红素与葡萄糖醛酸连接，形成以双葡萄糖醛酸结合物为主的结合胆红素（conjugated bilirubin）。结合后的胆红素水溶性更高，在转运蛋白的帮助下被主动排入胆汁中。 血红素 → 胆绿素 → 胆红素的转化 图像来源：维基百科   胆汁从肝脏出来，经过胆管，一部分直接进入小肠，另一部分则暂时储存在胆囊里。胆囊黏膜会吸收胆汁中的水分和部分电解质，随着水分减少，单 ...

雨后的草地上，甚至是游戏《光·遇》中，我们都能找到神秘的“蘑菇圆环”，而它们可能已经存在了数十年、甚至数百年。这些蘑菇怪圈是怎么形成的？为什么有的蘑菇圈让草更绿，有的却被定为草坪病害？让我们一起揭开蘑菇圈背后的秘密。 作者：阿氯、时光 审核：星海中的蓝玫瑰   雨过天晴，你是否在草地上见过这样一幕：一簇簇蘑菇围成一个圆环，像有人故意插了一圈小伞？这个现象在民间常被称为“仙女环（fairy ring）”或“蘑菇圈”，学术上通常称为蕈（xùn）圈。你可能不知道的是：一些大型蘑菇圈可能已经在地下生长了上百年。   我们看到的“蘑菇”，通常是真菌用于产生和散播孢子的子实体，真正的主体则是隐藏在土壤或枯落物中的菌丝体。当孢子萌发形成菌丝后，菌丝会不断向周围扩展。在环境较为均匀的情况下，菌丝的活跃前缘逐渐向外推进，而中心区域的菌丝活性下降，地面上的子实体便可能沿着菌丝前缘排列成环。[1, 2] 为什么偏偏是圆的？   蘑菇圈之所以常呈现近似圆形，主要与形成蘑菇圈的真菌菌丝向外放射状生长有关。 从一个孢子说起   一切始于一个孢子。当孢子落入适宜的土壤后，会萌发出细小的菌丝。菌丝相互连接并继续生长，逐渐形成菌丝体，也就是真菌隐藏在地下的主要部分。 咖啡渣上生长的真菌菌丝体，图像作者Tobi Kellner 放射状扩张   如果周围土壤的温度、湿度和养分条件较为均匀，菌丝便会从最初的生长区域向各个方向扩展，如同一个不断变大的圆盘。蘑菇圈中真正活跃的部分就在菌丝体不断向外推进的前缘。 中心活性下降   随着菌丝不断向外生长、变大，中心区域的菌丝活性逐渐降低甚至消失。造成中心区域菌丝活性降低的原因有许多，比如养分枯竭、土壤环境变化等多种因素。还有一种有趣的说法是“DNA自毒作用”，该假说认为中心衰老菌丝分解释放的DNA会在土壤中积累，并对同种菌丝产生特异性抑制，阻碍菌丝重 ...

1145141919810 这串数字能变成等式吗？任意 8 位以上整数，只要插入加减乘除、括号和等号，竟然总能得到正确等式？本文从反例、构造到计算机验证，证明一个看似荒诞的数学问题。 作者：硅基·飙尘葆光 硅基-沉默整数平衡化定理及其证明简明介绍   在日常生活中，我们时常被传递数字时三体人智子的干扰所困扰。于是人们研发出各种数字混淆方法以对抗三体人的邪恶计划。其中一种方法，就是将运算符号插入数字串使之成为正确等式。例如“114514”可以写作1=−1+(4+5−1)/41=-1+(4+5-1)/41=−1+(4+5−1)/4，“1919810”可以写作(1×9+1)×(9−8)=10(1\times 9+1)\times(9-8)=10(1×9+1)×(9−8)=10。这样在智子看来这些数字串都是True值从而避免被智子监控干扰。   然而，有这样一个问题如同梦魇一般长期萦绕在深爱该方法的人们脑中，使人们的灵魂日夜难以安息，如同在地狱中永世煎熬：   对于我们想要传递的数字，我们是否总能插入运算符号与等号使之成为正确等式呢？   如果你是智子，那么应该不难注意到： 在十进制下，对于8位及以上位数的任意整数，我们总能在其中插入加减乘除、小括号与等于号使之成为正确的等式。   然而，实际上我们不是智子，只是智人，理解这一切还是需要依靠逐步的分析。   考虑到始终使用“插入运算符号与等号使之成为正确等式”之类的称呼十分不便，也为了严格化我们的讨论，不妨进行如下规定： 对于任意 n 位整数 a 将其视作 n 位无先导零的数字串，在数字串中插入规定集合内的运算符号的操作称之为“插符”。整数 a 插符得到的表达式的值称之为“插符值”，所有能够得到的插符值构成“插符值集”，简写为“Val(a)\mathrm{Val}(a)Val(a)”。 允许插入的运算符号的 ...

不需要"烧开水"，只要存在温差就可以发电？温差为什么能推动电荷移动？这种看似微弱的效应，又如何为深空探测器供电？本文带你认识塞贝克效应，看看"热"究竟怎样变成"电"的。 作者：ST 审核：时光   说起发电，很多人都会说发电就是“烧开水”：把水烧开、让蒸汽推动汽轮机转起来，再将机械能转化为电能。最直观的例子就是火力发电，通过煤、天然气或燃油等燃料进行燃烧反应来烧水；而核能、地热能、生物质能甚至垃圾焚烧的发电形式也是上述的“烧开水”来实现能量转换的。不过，也有类似风力发电、光伏发电、水力发电和燃料电池这样不会用到所谓“烧开水”的发电方式。   我们今天要讨论的不是上述这些发电方式，而是“热”如何发电。我相信很多人要说：“烧开水”不也会产生大量的热吗？确实，但是这里提到的“热”并不是烧水产生的热量，而是“热梯度”，通俗来讲就是温差。就像插入开水里的金属筷子，浸没于水中的那一段的温度很显然要高于拿在手中的那一段的温度，两个区域存在的温度差就可以被理解为温度梯度，即热梯度。   可是这和发电又有什么关系呢？我们要知道：电并不是凭空而来的。比如上述“烧开水”的发电方式依赖法拉第电磁感应定律，即：让线圈和磁场发生相对运动。根据法拉第电磁感应定律，变化的磁通量会产生感应电动势。变化的磁场就像一只看不见的手，推动导线里的电荷移动，于是机械运动就被转化成了电能。对于光伏电池和燃料电池来说，光伏电池在光照作用下，会使内部的正、负电荷分离，从而在两端形成电压；燃料电池则通过燃料与氧化剂发生化学反应，使电子定向转移，从而产生电压。   当然，不管是任何类型的发电方式，都离不开材料中“载流子”(能够在材料中移动并传递电荷的微小粒子)的定向运动。对于常见的金属和半导体来说，载流子的类型大多是电子。通俗的来说，发电就是让载流子有秩序地跑向 ...

基于比较的确定性排序算法在最坏输入下的比较次数下界是 Ω(nlg⁡n)\Omega(n\lg n)Ω(nlgn)，但随机算法在最坏输入下的期望比较次数又如何呢？本文介绍 Yao’s principle，并用它分析随机排序算法的比较次数下界。 作者：silverxz 审核：phy东西 Introduction   基于比较的确定性排序算法在最坏输入下的比较次数下界是 Ω(nlg⁡n)\Omega(n\lg n)Ω(nlgn)，这个结果很著名，《算法导论》等教材和大部分算法课程都有讲述，读者应该清楚（本文默认读者初步学习过算法和概率论，但要求不高。本文遵循算法领域的惯例，lg 以 222 为底）。   但是，对于随机算法来说，它在最坏输入下的期望比较次数又如何呢？   倘若读者完全没有了解过随机算法相关的知识，可能会觉得允许随机性也不会让算法神奇地变好。不过世界上的确存在一些神奇的随机算法。   排序算法中的快速排序本身就是一个例子。普通的快速排序若按固定规则选择主元，其在最坏输入下的复杂度可以达到 Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n2)；随机选择主元则能在最坏输入下保持期望 O(nlg⁡n)O(n\lg n)O(nlgn) 的复杂度。当然，这个例子可能不够神奇，毕竟我们还有一堆其他的 Θ(nlg⁡n)\Theta(n\lg n)Θ(nlgn) 排序算法。一个更神奇的例子是 Freivalds 算法。它虽然与排序问题无关，但非常简洁巧妙，我们简单介绍一下。这一算法意在解决以下问题。 问题：给定三个 n×nn\times nn×n 矩阵 A,B,CA,B,CA,B,C，判断 ABABAB 是否等于 CCC. 换言之，检验矩阵乘法的结果是否正确.   最直接的做法当然就是直接把 AAA 和 BBB 乘起来，再去判断 ABABAB 是否等于 CCC. 这一方法的计算代 ...

矿泉水放进冰箱里，到底是横着放还是竖着放冷得快？从感觉上来说，横放的水与冰箱的接触面积更大，它会冷得更快吗？带着这个问题看完本文吧！ 作者：锅炉-251 审核：薛定谔的猫 序言   假如把一瓶常温矿泉水放进冰箱，想让它尽快变凉，你会怎么放？很多人可能会凭直觉回答：“横着放吧，感觉和冷空气接触面积更大。”而另一些人则认为：“竖着放更好，因为冷空气从上往下走。”   这个看似简单却众说纷纭的生活问题，其实可以用传热学中的一个重要概念——自然对流来解释[1]。 图 1 横着放还是竖着放对自然对流有利？ 水在冰箱里是怎么冷却的？   一瓶水放进冰箱后，热量要从水里“跑到”冰箱空气中去，和把大象装进冰箱一样，大致要经过三步： 瓶内的水传递热量给瓶壁； 热量从瓶壁内侧传递到瓶壁外侧； 瓶壁将热量传递给冰箱中的冷空气。   在这三个步骤之中，第一步有一个不容忽视的现象：瓶子里面的水并不是静止不动地降温，而是会自行流动。虽然我们日常中把水假设为密度不变的流体，但在静止的瓶子内，细小的密度变化也会带来驱动力。水在遇冷降温时，密度变大，冷水往下流动，而还未冷却的水温度稍高，密度相对较小，则往上流动。这样一来，瓶内就会形成一种不靠泵、不靠风扇、完全由温差驱动的流动，这就叫做自然对流。所以，水冷得快不快，不只是看瓶子外面冷不冷，还要看瓶子里面的水能不能形成有效的循环流动。 如何分析自然对流的强度   在开始分析前我们要先对分析的物理模型做一些简化，忽略对问题分析不重要的现象，更关注我们分析的现象： 模型不考虑与冷板的热传导接触，意味着瓶子的冷却仅由空气流动驱动； 冰箱内无强制对流，意味着冰箱里没有风扇等设备驱动空气流动。   接下来让我们看向自然对流的影响因素。水在温差驱动下会产生循环，其本质原因是密度变化，也可以理解为浮力的变化。影响自然对流的两个主要因素分别是： 浮力 ...

数学并不总是从一开始就严谨。历史上，无论是伯特兰悖论，还是围绕无穷小量的争论，都曾暴露出定义模糊带来的不确定性。为回应这些问题，数学逐步走向形式化表达。 作者：silverxz 审核：ΔδDelta\Delta\delta DeltaΔδDelta 引言：先问「是什么」   无论是学习数学还是解决数学问题，“先问「是什么」”都是很自然的想法。   比如刚开始学习集合的高中生，首先需要知道集合是什么，哪怕只是朴素地说一句“集合就是把一些对象放在一起构成的整体”。只有先知道它是什么，才能继续回答关于集合的其他问题，或继续学习之后的映射等概念。   到了学习复数的时候，也得先知道“复数就是形如 x+iyx+iyx+iy 的东西，其中 x,yx,yx,y 是实数”。紧接着再问，iii 是什么？这里的加号意味着什么？如此追问，直到“复数是什么”这个问题被回答清楚，才能进行后续的复数模长等的学习。如果不把「是什么」回答清楚，学生将始终云里雾里，自然也就无法继续学习下去。   不过，到底怎样才算是 “把「是什么」回答清楚 ” 呢？一般来说，这个问题似乎不需要回答：人类自己有思维能力和理解能力，自己懂了，那就算是回答清楚了；而自己究竟懂没懂，自己当然知道……真的是这样吗？   很遗憾，不完全是。像自然数、实数、简单的概率和“随机”这样的概念，它们和生活联系紧密，属于常识概念。很多人会觉得自己已经弄得很清楚了，但这有时是幻觉。我们考虑法国数学家伯特兰 (Joseph Bertrand, 1822-1900) 提出的经典概率悖论： 给定一个半径为 rrr 的圆，随机选取圆中的一条弦。问：这条弦的长度比圆的内接等边三角形的边长（为 3r\sqrt 3 r3​r）更长的概率是多少？   圆周上的两个点确定一条弦。出于旋转对称性，我们不妨先固定弦的一端为圆上的任意一点，再随机选取另一端， ...