先问「是什么」：数学与形式化数学浅讲
数学并不总是从一开始就严谨。历史上，无论是伯特兰悖论，还是围绕无穷小量的争论，都曾暴露出定义模糊带来的不确定性。为回应这些问题，数学逐步走向形式化表达。 作者：silverxz 审核：ΔδDelta\Delta\delta DeltaΔδDelta 引言：先问「是什么」 无论是学习数学还是解决数学问题，“先问「是什么」”都是很自然的想法。 比如刚开始学习集合的高中生，首先需要知道集合是什么，哪怕只是朴素地说一句“集合就是把一些对象放在一起构成的整体”。只有先知道它是什么，才能继续回答关于集合的其他问题，或继续学习之后的映射等概念。 到了学习复数的时候，也得先知道“复数就是形如 x+iyx+iyx+iy 的东西，其中 x,yx,yx,y 是实数”。紧接着再问，iii 是什么？这里的加号意味着什么？如此追问，直到“复数是什么”这个问题被回答清楚，才能进行后续的复数模长等的学习。如果不把「是什么」回答清楚，学生将始终云里雾里，自然也就无法继续学习下去。 不过，到底怎样才算是 “把「是什么」回答清楚 ” 呢？一般来说，这个问题似乎不需要回答：人类自己有思维能力和理解能力，自己懂了，那就算是回答清楚了；而自己究竟懂没懂，自己当然知道……真的是这样吗？ 很遗憾，不完全是。像自然数、实数、简单的概率和“随机”这样的概念，它们和生活联系紧密，属于常识概念。很多人会觉得自己已经弄得很清楚了，但这有时是幻觉。我们考虑法国数学家伯特兰 (Joseph Bertrand, 1822-1900) 提出的经典概率悖论： 给定一个半径为 rrr 的圆，随机选取圆中的一条弦。问：这条弦的长度比圆的内接等边三角形的边长（为 3r\sqrt 3 r3r）更长的概率是多少？ 圆周上的两个点确定一条弦。出于旋转对称性，我们不妨先固定弦的一端为圆上的任意一点，再随机选取另一端， ...
我们为什么要烧开水发电？
从蒸汽机时代到核电站，人类折腾了几百年竟然还在烧开水？光伏、风电、燃料电池、磁流体发电……这么多听起来更高级的技术，为什么到今天都没能把这壶烧了三百年的水替换掉？ 作者：锅炉-251 审核：赖渊 序言 常见到有人吐槽：人类的发展就是烧开水和扔石头。前者意思是现代电力的生产方式主要依赖水蒸气为工质的热力循环方式发电，后者是人类的攻击方式主要依赖质量投射来造成杀伤。本文我们将聚焦到能源利用中，从能量的来源、能量的使用方式和效率上限，来探究从第一次工业革命至今几百年时间，人类为什么还依赖“烧开水”来制造动力与电力。 能怎么发电？ 让我们先检查下我们现有的发电路径，常用的发电路径有下面几条： 热->功->电热力循环发电：系统首先产生热量，然后将热量转化为各种形式的功，最后通过做功发电。 动能->功->电：这类系统的代表是风力和水力发电等采用流体机械将流体的动能转换为功再进行发电的方式。 光->电：光伏是这类发电方式的主要代表，通过光电效应将光转化为电能。 热->电：这类发电方式的代表是核电池，通过热电效应将热能转化为电能。 化学->电：燃料电池和电化学电池是这类发电方式的主要代表，通过氧化还原反应将化学能转化为电能。 直接利用电能：磁流体发电是这种方法，通过霍尔效应利用等离子体的电荷量进行发电。 为什么选择了热力循环？ 在介绍热力循环之前，让我们首先看看其他循环的缺点。 光伏发电、风电和水电等新能源发电方式在能源系统的占比逐渐提高，但是仍然无法取代热力发电。这是因为对于光伏发电和风力发电，天气的波动性（云层的变化，风力的变化）导致功率出力变化极大，对于强烈依赖稳定性的电网造成了极大的冲击。因此，对于新能源高渗透率的电网需要储能、备用容量、输电扩容、灵活调度与市场机制配套，造成整套系统的配套成本高。此外，设备本 ...
为什么电池会鼓包？新能源车也会鼓包吗？
作者：时光 审核：阿氯 从鼓起的手机后盖说起 一天晚上，笔者收到了朋友发来的一张图片，表示自己的手机后盖可能因为电池“鼓包”被顶碎了，整个画面惨不忍睹。 音容宛在 图片来源：作者友人提供，未公开资料 人们对这一幕其实并不陌生。2017年，苹果的iPhone 8 x系列手机上市仅一周，全球各地就出现了多起新机刚拆封或充电时屏幕被鼓包的电池顶开弹出的事故。 “推特”（现更名为“X”）社交平台上用户发表的内容 图片来源：Magokoro0511. 推文截图[EB/OL]. X (原Twitter), 2016-09-25[引用日期：2026-03-03]. 膨胀电池实拍图 图片来源：Magokoro0511. 推文截图[EB/OL]. X (原Twitter), 2016-09-25[引用日期：2026-03-03]. 现代手机、电脑、平板等设备通常采用软包锂离子电池（锂聚合物电池），典型的软包锂离子电池由三层核心组件构成：正极、负极和隔膜，在结构上非常紧凑。其中，正极是涂有锂金属氧化物（如钴酸锂）的铝箔，负极是涂有石墨的铜箔，它们之间用一层允许锂离子通过的微孔隔膜隔开，整个结构浸润在电解液中。 锂离子电池结构示意图（从左至右：正极、隔膜、负极） 图片来源：Shi A. One Major Way Smartphone Batteries Can Catch Fire—and How to Prevent It[EB/OL]. iFixit, 2022-11-17[引用日期：2026-03-03]. 电池充电时，在外部电流的驱使下，锂离子脱离正极的晶格中（化学上称为脱嵌），游过中间的电解质，精准地钻进负极的晶格间隙里（称为嵌入）。此时，锂离子与碳原子紧密结合，形成了稳定的LiC₆结构；放电时，锂离子又从负极脱嵌，重新嵌入到正极的晶格间隙中。锂离子在固 ...
Hilbert第十问题的硬科普（五）：MRDP定理
作者：silverxz 校对：Acidmoon 本篇证明丢番图集等价于递归可枚举集。 我们已经说过，丢番图集是递归可枚举集这个方向是比较显然的。设有丢番图集SSS和对应的丢番图方程D(x1,...,xn,y1,...,ym)=0D(x_1,...,x_n,y_1,...,y_m)=0D(x1,...,xn,y1,...,ym)=0，对于(a1,...,an)∈Nn(a_1,...,a_n)\in \mathbb{N}^n(a1,...,an)∈Nn，只需令图灵机MMM不断地尝试所有y1,...,ymy_1,...,y_my1,...,ym是不是D(a1,...,an,y1,...,ym)=0D(a_1,...,a_n,y_1,...,y_m)=0D(a1,...,an,y1,...,ym)=0的解即可，若(a1,...,an)∈S(a_1,...,a_n)\in S(a1,...,an)∈S则总会停机。当然，解要以合理的方式枚举，保证任意可能的解都会在有限时间内被枚举到。 这里有一个微妙之处：给定一个SSS，我们并不知道DDD是什么。但是这样的DDD总是存在的，因此对应的图灵机MMM也总是存在的。 这样这个方向就证完了。我们真正关注的是如何证明每个递归可枚举集都是丢番图集。我们的证明方法是，构造丢番图函数和丢番图关系来模拟图灵机每一步的计算过程。这种方法其实并不罕见，如果读者学过基本的可计算理论，应当了解“计算历史方法”(computation history method)这种证明不可判定性的一类通用方法，我们这里用到的想法和那里差不多。 丢番图关系 虽然我们已经提过，丢番图关系无非和丢番图集是一回事，而丢番图函数也可以视为一种特殊的丢番图集/关系。但读者对此或许还没什么实际的感受，不知道我们可以做怎样的“构造”。因此 ...
Hilbert第十问题的硬科普（四）：基本概念、证明框架
作者：silverxz 校对：时光 我们开始进入真正的证明。这个证明并不是原始的证明，而是Matiyasevich大幅度简化后的证明(来自其著作Hilbert’s Tenth Problem)，因此会和我们介绍的历史中的路线不太一样。我们也会进一步简化一些论述，跳过一些过于繁琐但没有什么新东西的地方。我们的证明会频繁采用“倒叙”，从结论出发，描述证明这个结论需要什么工具，然后逐步填补这些工具。同时，我也会用大量的自然语言去感性描述证明过程、并阐述证明的动机。我认为这是更符合科普的讲法。 什么是Hilbert第十问题 我们先重新叙述我们要解决的问题。 丢番图方程是一个整系数多变量多项式方程，用 来表示。若我们不关心或已知其自变量，也将它简写做 D 。 我们关注的是这个方程有没有整数解。对于给定的 D ，这个答案为“是”或“否”的问题就称为“单一问题”，这个问题的信息就由 D 这个多项式本身确定。 每一个丢番图方程都确定了一个这样的单一问题。所有这样的单一问题放在一起，就构成了判定问题：是否存在一个算法（图灵机 M ），使给定任何一个丢番图方程 D ，M 都能给出 D 对应的单一问题（即 D 有没有整数解）的正确结果？ 这个问题就是Hilbert第十问题。我们的目标是：证明不存在这样的算法。 但实际上我们并不是真的去讨论算法，而是证明另一个命题： MRDP定理：丢番图集与递归可枚举集等价。 然后如我们熟知的（假如你不知道的话，我后面有一段关于递归集的简短叙述，你可以试试能不能看懂），存在不可判定的递归可枚举集，于是存在不可判定的丢番图集，也就存在一族不可判定有无整数解的丢番图方程。连其中一族丢番图方程的可解性都无法判定，自然就更不可能判定全部丢番图方程的可解性了，这就宣告Hilbert第十问题不可解。 本篇，我们会先给出丢番图方程的 ...
【玄之试炼】网页版小游戏
玄之试炼 · Unity WebGL 游戏将在独立页面运行，不再嵌入文章。首次加载约 115 MB，建议使用 Wi-Fi；手机横屏体验更佳。 进入玄之试炼
Hilbert第十问题的硬科普（三）：一段历史（下）
作者：silverxz 校对：时光 许多年后，确认Hilbert第十问题已尘埃落定时，Martin Davis准会想起他老师说「Hilbert第十问题亟待证明不可解」的那个遥远的下午。 我们已经看到，Hilbert纲领中的完备性、一致性、可判定性被Gödel和Turing等人打破了。而Hilbert第十问题无非是判定问题的一个特例。因此，判定问题可解性的否定答案，让人们对Hilbert第十问题的乐观态度在10年内几乎完全转变为悲观。 Post是可计算理论的奠基人之一。他的运气实在不太好：12岁车祸失去左臂，导致放弃天文学转而研究数学。23岁获得数学博士学位，来到普林斯顿读博士后，患上躁狂，一天只能研究三个小时。他在普林斯顿就读期间几乎发现了Gödel的不完备性定理，比Gödel早了十年，只是他觉得需要更完善的分析，没有发表。最后，他57岁死于抑郁症电击治疗诱发的心脏病。倘若他的运气能再好一些，或许如今在历史上的名字会更响亮。 回到正题。1944年，在Hilbert提出这个问题44年后，时任纽约市立学院数学系主任的Post发表了他对Hilbert第十问题的看法，他说：「Hilbert第十问题亟待证明不可解」。 他或许只是在随口发表他的观点。但他没有想到，某种程度上，正是这句话导致了Hilbert第十问题的解决。Martin Davis，一位就读于纽约市立学院的本科生，听到了Post的这句话。而这，成为了Davis投身Hilbert第十问题的开端，也让他成为了这个故事的主人公之一。 Davis：丢番图集 从今天来看，解决Hilbert第十问题的关键首先在于引入丢番图集的概念，并注意到它的重要性。这是一个和丢番图方程可解性相关联的概念，是自然数集的子集，于是我们可以用可计算理论发展出的内容考察它。简单来说：若能找到某个丢番图集不可判定，就能推导出Hi ...
编辑出版の基础知识
作者：时光 审核：梅世达 出版与编辑 出版，全称为 “出版活动”，是对作品进行选择、编辑、复制并向公众传播的专业活动。它涵盖了从原始稿件到最终出版物的一系列复杂过程，目的是将有价值的信息传递给读者。 编辑则具有双重身份，既可以是一个动词，表示对资料或已有作品进行整理、加工的过程，也可以是一个名词，指代从事组织、采录、收集、整理、纂修、审定各种精神产品及其他文献资料并使其传播展示于社会公众的工作者，例如出版社编辑。编辑是出版工作的重要组成部分，是出版物复制和发行的前提，其主要目的在于生产出版物的精神文化内容，是对作品进行策划、组织、审读、选择和加工的专业精神生产活动。 编辑的工作职责 编辑的工作职责主要包括以下三点： 保证图书质量（确定下限） 这是编辑工作的基础要求。编辑需要对稿件进行严格的审读，检查内容是否存在错误、遗漏或不合理之处，确保图书在政治性、思想性、科学性和知识性等方面符合标准，避免出现低级错误，为读者提供准确可靠的信息。 促进图书品质提升（拉高上限） 除了保证基本质量外，编辑还应发挥专业素养，对作品进行深入挖掘和精心加工。通过优化结构、润色文字、提升逻辑性等方式，使图书在内容上更具吸引力和可读性，帮助作者更好地表达思想，提升图书的整体品质和价值，使其在市场上更具竞争力。 保证出版时效 在保证质量和品质的前提下，编辑需要合理安排工作进度，确保图书能够按时出版发行。这要求编辑具备良好的时间管理能力和协调能力，与作者、排版人员、印刷厂等各方密切配合，避免因自身工作延误导致出版周期延长，以满足读者的期待和市场需求。 出版流程 一本图书的出版，一般经历了以下几个阶段： 选题设计 --> 三审制度 --> 编加整理 --> 发排发稿 --> 三校一读 --> 书号申请 --> 质检下印 --> 营销发行 --> ...
2025世界读书日·科普书单
在万物生长的四月，我们迎来了第30个世界读书日。书籍是探索未知的灯塔，A君发起的“科普书单大征集”活动收获了不少宝藏科普读物，快来查收这份由大家共建的科普书单吧！ 《时间简史》 史蒂芬·霍金 这本书以通俗易懂的语言介绍了宇宙起源和人类命运等前沿科学知识。从黑洞、大爆炸到时间旅行，霍金用生动的文字带领读者探索宇宙的奥秘，让我们了解到宇宙的神奇与浩瀚。无论是对科学感兴趣的初学者，还是有一定知识储备的读者，都能从中获得启发。它不仅能让我们增长科学知识，更能激发我们对宇宙的好奇心和探索欲，引领我们思考人类在宇宙中的位置和意义，是一本极具阅读价值的科普佳作。 《对称与不对称》 李政道 以通俗语言阐释物理学核心概念“对称与不对称”，并延伸至艺术、文学与东方智慧。书中提出“对称展示宇宙之美，不对称生成宇宙之实”，强调对称性是自然界的基本规律，而对称性破缺则是宇宙演化与生命起源的关键。 书中介绍了高能粒子物理的基本概念, 探讨了加速器在推动科学发现中的重要作用, 阐明了理论物理和实验物理的互相支持, 展望了对于真空的未来研究。 《上帝掷骰子吗》 曹天元 本书以武侠小说的叙事张力重构量子论百年激荡史。作者曹天元用"光的波粒战争"等鲜活比喻，将薛定谔方程、不确定性原理等抽象概念化作可触摸的思想实验。书中重现了爱因斯坦与玻尔跨越三十年的世纪论战，揭开了量子纠缠从哲学思辨到技术验证的完整链条，更预言了量子计算改写密码学规则的未来图景。全书以东方思维解读西方科学革命，既保留《费曼物理学讲义》的智识深度，又兼具《人类群星闪耀时》的史诗感，堪称科普写作的范式革新。当你读到惠勒延迟选择实验揭示"现在可以改变过去"，定会重新思考因果律的本质。 《月球车与火星车》 贾阳 本书不仅详细介绍了玉兔1/2号和祝融号探测车的细节，还穿插讲述了大量有趣的研发 ...
Hilbert第十问题的硬科普（二）：一段历史（上）
作者：silverxz 校对：时光 上回说到 Hilbert 和他的 23 个问题。接下来，我会用两篇来回顾历史。本篇回顾的是第十问题所需要的背景，包括丢番图方程的历史和算法与可计算的历史；下一篇真正进入到 Hilbert 第十问题解决的历史。如果对于本篇的内容已经熟悉，可以直接进入下一篇。 丢番图方程：从Diophantus到Hilbert 这个故事有一个经典开头： 很久很久以前，或者说，1800 年前，古希腊数学家 Diophantus（丢番图）研究了一大堆代数方程，那个时候的代数方程指的是由有理系数多项式构成的方程。他的研究很丰富，其中一项重点是：一个方程有没有整数解。 对于一个有理系数方程，比如 ，我们可以把它的系数通分，两边相乘，分母去掉，从而变成一个整系数的方程 。这不改变解。所以，研究就转变成了整系数多项式方程整数解的存在性。这个问题是 Diophantus 最先着重研究的，所以人们把整系数的多项式方程称作丢番图方程。 请允许我使用“丢番图方程”而不是Diophantine方程，因为这个词我总是打错，而且我总不能写“Turing机”，那太奇怪了 笔者没有考证 Diophantus 研究整数解的动机是什么，或许是受到勾股数的影响，或许他只是觉得有趣。毕竟，Diophantus 是被一些人称为“代数之父”的代数学先驱，他的著作*《算术》(Arithmetica)，从名字就能看出是奠基性的人物——这很容易让人联想到 Euclid 与《几何原本》，Newton 与《自然哲学的数学原理》*等等直白的名字。总之对于 Diophantus，研究整数解存在性或许确实不需要什么理由，他同时也研究很多其他东西。数学本身就是一门兴趣使然的艺术。 随着数学发展，丢番图方程的研究产生了更丰富的动机。但这种研究往往是针对某个或某类特定的丢番图方程去做的， ...
