草地上为什么会长出蘑菇怪圈？
雨后的草地上，甚至是游戏《光·遇》中，我们都能找到神秘的“蘑菇圆环”，而它们可能已经存在了数十年、甚至数百年。这些蘑菇怪圈是怎么形成的？为什么有的蘑菇圈让草更绿，有的却被定为草坪病害？让我们一起揭开蘑菇圈背后的秘密。 作者：阿氯、时光 审核：星海中的蓝玫瑰 雨过天晴，你是否在草地上见过这样一幕：一簇簇蘑菇围成一个圆环，像有人故意插了一圈小伞？这个现象在民间常被称为“仙女环（fairy ring）”或“蘑菇圈”，学术上通常称为蕈（xùn）圈。你可能不知道的是：一些大型蘑菇圈可能已经在地下生长了上百年。 我们看到的“蘑菇”，通常是真菌用于产生和散播孢子的子实体，真正的主体则是隐藏在土壤或枯落物中的菌丝体。当孢子萌发形成菌丝后，菌丝会不断向周围扩展。在环境较为均匀的情况下，菌丝的活跃前缘逐渐向外推进，而中心区域的菌丝活性下降，地面上的子实体便可能沿着菌丝前缘排列成环。[1, 2] 为什么偏偏是圆的？ 蘑菇圈之所以常呈现近似圆形，主要与形成蘑菇圈的真菌菌丝向外放射状生长有关。 从一个孢子说起 一切始于一个孢子。当孢子落入适宜的土壤后，会萌发出细小的菌丝。菌丝相互连接并继续生长，逐渐形成菌丝体，也就是真菌隐藏在地下的主要部分。 咖啡渣上生长的真菌菌丝体，图像作者Tobi Kellner 放射状扩张 如果周围土壤的温度、湿度和养分条件较为均匀，菌丝便会从最初的生长区域向各个方向扩展，如同一个不断变大的圆盘。蘑菇圈中真正活跃的部分就在菌丝体不断向外推进的前缘。 中心活性下降 随着菌丝不断向外生长、变大，中心区域的菌丝活性逐渐降低甚至消失。造成中心区域菌丝活性降低的原因有许多，比如养分枯竭、土壤环境变化等多种因素。还有一种有趣的说法是“DNA自毒作用”，该假说认为中心衰老菌丝分解释放的DNA会在土壤中积累，并对同种菌丝产生特异性抑制，阻碍菌丝重 ...
为何所有8位及以上的数都可以变为等式？——硅基-沉默整数平衡化定理及其证明简明介绍
1145141919810 这串数字能变成等式吗？任意 8 位以上整数，只要插入加减乘除、括号和等号，竟然总能得到正确等式？本文从反例、构造到计算机验证，证明一个看似荒诞的数学问题。 作者：硅基·飙尘葆光 审核：ΔδDelta\Delta\delta DeltaΔδDelta 硅基-沉默整数平衡化定理及其证明简明介绍 在日常生活中，我们时常被传递数字时三体人智子的干扰所困扰。于是人们研发出各种数字混淆方法以对抗三体人的邪恶计划。其中一种方法，就是将运算符号插入数字串使之成为正确等式。例如“114514”可以写作1=−1+(4+5−1)/41=-1+(4+5-1)/41=−1+(4+5−1)/4，“1919810”可以写作(1×9+1)×(9−8)=10(1\times 9+1)\times(9-8)=10(1×9+1)×(9−8)=10。这样在智子看来这些数字串都是True值从而避免被智子监控干扰。 然而，有这样一个问题如同梦魇一般长期萦绕在深爱该方法的人们脑中，使人们的灵魂日夜难以安息，如同在地狱中永世煎熬： 对于我们想要传递的数字，我们是否总能插入运算符号与等号使之成为正确等式呢？ 如果你是智子，那么应该不难注意到： 在十进制下，对于8位及以上位数的任意整数，我们总能在其中插入加减乘除、小括号与等于号使之成为正确的等式。 然而，实际上我们不是智子，只是智人，理解这一切还是需要依靠逐步的分析。 考虑到始终使用“插入运算符号与等号使之成为正确等式”之类的称呼十分不便，也为了严格化我们的讨论，不妨进行如下规定： 对于任意 n 位整数 a 将其视作 n 位无先导零的数字串，在数字串中插入规定集合内的运算符号的操作称之为“插符”。整数 a 插符得到的表达式的值称之为“插符值”，所有能够得到的插符值构成“插符值集”，简写为“Val(a) ...
热与电的相互转化（1）——温差是怎么发电的？
不需要"烧开水"，只要存在温差就可以发电？温差为什么能推动电荷移动？这种看似微弱的效应，又如何为深空探测器供电？本文带你认识塞贝克效应，看看"热"究竟怎样变成"电"的。 作者：ST 审核：时光 说起发电，很多人都会说发电就是“烧开水”：把水烧开、让蒸汽推动汽轮机转起来，再将机械能转化为电能。最直观的例子就是火力发电，通过煤、天然气或燃油等燃料进行燃烧反应来烧水；而核能、地热能、生物质能甚至垃圾焚烧的发电形式也是上述的“烧开水”来实现能量转换的。不过，也有类似风力发电、光伏发电、水力发电和燃料电池这样不会用到所谓“烧开水”的发电方式。 我们今天要讨论的不是上述这些发电方式，而是“热”如何发电。我相信很多人要说：“烧开水”不也会产生大量的热吗？确实，但是这里提到的“热”并不是烧水产生的热量，而是“热梯度”，通俗来讲就是温差。就像插入开水里的金属筷子，浸没于水中的那一段的温度很显然要高于拿在手中的那一段的温度，两个区域存在的温度差就可以被理解为温度梯度，即热梯度。 可是这和发电又有什么关系呢？我们要知道：电并不是凭空而来的。比如上述“烧开水”的发电方式依赖法拉第电磁感应定律，即：让线圈和磁场发生相对运动。根据法拉第电磁感应定律，变化的磁通量会产生感应电动势。变化的磁场就像一只看不见的手，推动导线里的电荷移动，于是机械运动就被转化成了电能。对于光伏电池和燃料电池来说，光伏电池在光照作用下，会使内部的正、负电荷分离，从而在两端形成电压；燃料电池则通过燃料与氧化剂发生化学反应，使电子定向转移，从而产生电压。 当然，不管是任何类型的发电方式，都离不开材料中“载流子”(能够在材料中移动并传递电荷的微小粒子)的定向运动。对于常见的金属和半导体来说，载流子的类型大多是电子。通俗的来说，发电就是让载流子有秩序地跑向 ...
随机排序的复杂度下界：Yao's principle 介绍
基于比较的确定性排序算法在最坏输入下的比较次数下界是 Ω(nlgn)\Omega(n\lg n)Ω(nlgn)，但随机算法在最坏输入下的期望比较次数又如何呢？本文介绍 Yao’s principle，并用它分析随机排序算法的比较次数下界。 作者：silverxz 审核：phy东西 Introduction 基于比较的确定性排序算法在最坏输入下的比较次数下界是 Ω(nlgn)\Omega(n\lg n)Ω(nlgn)，这个结果很著名，《算法导论》等教材和大部分算法课程都有讲述，读者应该清楚（本文默认读者初步学习过算法和概率论，但要求不高。本文遵循算法领域的惯例，lg 以 222 为底）。 但是，对于随机算法来说，它在最坏输入下的期望比较次数又如何呢？ 倘若读者完全没有了解过随机算法相关的知识，可能会觉得允许随机性也不会让算法神奇地变好。不过世界上的确存在一些神奇的随机算法。 排序算法中的快速排序本身就是一个例子。普通的快速排序若按固定规则选择主元，其在最坏输入下的复杂度可以达到 Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n2)；随机选择主元则能在最坏输入下保持期望 O(nlgn)O(n\lg n)O(nlgn) 的复杂度。当然，这个例子可能不够神奇，毕竟我们还有一堆其他的 Θ(nlgn)\Theta(n\lg n)Θ(nlgn) 排序算法。一个更神奇的例子是 Freivalds 算法。它虽然与排序问题无关，但非常简洁巧妙，我们简单介绍一下。这一算法意在解决以下问题。 问题：给定三个 n×nn\times nn×n 矩阵 A,B,CA,B,CA,B,C，判断 ABABAB 是否等于 CCC. 换言之，检验矩阵乘法的结果是否正确. 最直接的做法当然就是直接把 AAA 和 BBB 乘起来，再去判断 ABABAB 是否等于 CCC. 这一方法的计算代 ...
冰箱里的水是竖着放还是横着放冷的快？
矿泉水放进冰箱里，到底是横着放还是竖着放冷得快？从感觉上来说，横放的水与冰箱的接触面积更大，它会冷得更快吗？带着这个问题看完本文吧！ 作者：锅炉-251 审核：薛定谔的猫 序言 假如把一瓶常温矿泉水放进冰箱，想让它尽快变凉，你会怎么放？很多人可能会凭直觉回答：“横着放吧，感觉和冷空气接触面积更大。”而另一些人则认为：“竖着放更好，因为冷空气从上往下走。” 这个看似简单却众说纷纭的生活问题，其实可以用传热学中的一个重要概念——自然对流来解释[1]。 图 1 横着放还是竖着放对自然对流有利？ 水在冰箱里是怎么冷却的？ 一瓶水放进冰箱后，热量要从水里“跑到”冰箱空气中去，和把大象装进冰箱一样，大致要经过三步： 瓶内的水传递热量给瓶壁； 热量从瓶壁内侧传递到瓶壁外侧； 瓶壁将热量传递给冰箱中的冷空气。 在这三个步骤之中，第一步有一个不容忽视的现象：瓶子里面的水并不是静止不动地降温，而是会自行流动。虽然我们日常中把水假设为密度不变的流体，但在静止的瓶子内，细小的密度变化也会带来驱动力。水在遇冷降温时，密度变大，冷水往下流动，而还未冷却的水温度稍高，密度相对较小，则往上流动。这样一来，瓶内就会形成一种不靠泵、不靠风扇、完全由温差驱动的流动，这就叫做自然对流。所以，水冷得快不快，不只是看瓶子外面冷不冷，还要看瓶子里面的水能不能形成有效的循环流动。 如何分析自然对流的强度 在开始分析前我们要先对分析的物理模型做一些简化，忽略对问题分析不重要的现象，更关注我们分析的现象： 模型不考虑与冷板的热传导接触，意味着瓶子的冷却仅由空气流动驱动； 冰箱内无强制对流，意味着冰箱里没有风扇等设备驱动空气流动。 接下来让我们看向自然对流的影响因素。水在温差驱动下会产生循环，其本质原因是密度变化，也可以理解为浮力的变化。影响自然对流的两个主要因素分别是： 浮力 ...
先问「是什么」：数学与形式化数学浅讲
数学并不总是从一开始就严谨。历史上，无论是伯特兰悖论，还是围绕无穷小量的争论，都曾暴露出定义模糊带来的不确定性。为回应这些问题，数学逐步走向形式化表达。 作者：silverxz 审核：ΔδDelta\Delta\delta DeltaΔδDelta 引言：先问「是什么」 无论是学习数学还是解决数学问题，“先问「是什么」”都是很自然的想法。 比如刚开始学习集合的高中生，首先需要知道集合是什么，哪怕只是朴素地说一句“集合就是把一些对象放在一起构成的整体”。只有先知道它是什么，才能继续回答关于集合的其他问题，或继续学习之后的映射等概念。 到了学习复数的时候，也得先知道“复数就是形如 x+iyx+iyx+iy 的东西，其中 x,yx,yx,y 是实数”。紧接着再问，iii 是什么？这里的加号意味着什么？如此追问，直到“复数是什么”这个问题被回答清楚，才能进行后续的复数模长等的学习。如果不把「是什么」回答清楚，学生将始终云里雾里，自然也就无法继续学习下去。 不过，到底怎样才算是 “把「是什么」回答清楚 ” 呢？一般来说，这个问题似乎不需要回答：人类自己有思维能力和理解能力，自己懂了，那就算是回答清楚了；而自己究竟懂没懂，自己当然知道……真的是这样吗？ 很遗憾，不完全是。像自然数、实数、简单的概率和“随机”这样的概念，它们和生活联系紧密，属于常识概念。很多人会觉得自己已经弄得很清楚了，但这有时是幻觉。我们考虑法国数学家伯特兰 (Joseph Bertrand, 1822-1900) 提出的经典概率悖论： 给定一个半径为 rrr 的圆，随机选取圆中的一条弦。问：这条弦的长度比圆的内接等边三角形的边长（为 3r\sqrt 3 r3r）更长的概率是多少？ 圆周上的两个点确定一条弦。出于旋转对称性，我们不妨先固定弦的一端为圆上的任意一点，再随机选取另一端， ...
我们为什么要烧开水发电？
从蒸汽机时代到核电站，人类折腾了几百年竟然还在烧开水？光伏、风电、燃料电池、磁流体发电……这么多听起来更高级的技术，为什么到今天都没能把这壶烧了三百年的水替换掉？ 作者：锅炉-251 审核：赖渊 序言 常见到有人吐槽：人类的发展就是烧开水和扔石头。前者意思是现代电力的生产方式主要依赖水蒸气为工质的热力循环方式发电，后者是人类的攻击方式主要依赖质量投射来造成杀伤。本文我们将聚焦到能源利用中，从能量的来源、能量的使用方式和效率上限，来探究从第一次工业革命至今几百年时间，人类为什么还依赖“烧开水”来制造动力与电力。 能怎么发电？ 让我们先检查下我们现有的发电路径，常用的发电路径有下面几条： 热->功->电热力循环发电：系统首先产生热量，然后将热量转化为各种形式的功，最后通过做功发电。 动能->功->电：这类系统的代表是风力和水力发电等采用流体机械将流体的动能转换为功再进行发电的方式。 光->电：光伏是这类发电方式的主要代表，通过光电效应将光转化为电能。 热->电：这类发电方式的代表是核电池，通过热电效应将热能转化为电能。 化学->电：燃料电池和电化学电池是这类发电方式的主要代表，通过氧化还原反应将化学能转化为电能。 直接利用电能：磁流体发电是这种方法，通过霍尔效应利用等离子体的电荷量进行发电。 为什么选择了热力循环？ 在介绍热力循环之前，让我们首先看看其他循环的缺点。 光伏发电、风电和水电等新能源发电方式在能源系统的占比逐渐提高，但是仍然无法取代热力发电。这是因为对于光伏发电和风力发电，天气的波动性（云层的变化，风力的变化）导致功率出力变化极大，对于强烈依赖稳定性的电网造成了极大的冲击。因此，对于新能源高渗透率的电网需要储能、备用容量、输电扩容、灵活调度与市场机制配套，造成整套系统的配套成本高。此外，设备本 ...
为什么电池会鼓包？新能源车也会鼓包吗？
作者：时光 审核：阿氯 从鼓起的手机后盖说起 一天晚上，笔者收到了朋友发来的一张图片，表示自己的手机后盖可能因为电池“鼓包”被顶碎了，整个画面惨不忍睹。 音容宛在 图片来源：作者友人提供，未公开资料 人们对这一幕其实并不陌生。2017年，苹果的iPhone 8 x系列手机上市仅一周，全球各地就出现了多起新机刚拆封或充电时屏幕被鼓包的电池顶开弹出的事故。 “推特”（现更名为“X”）社交平台上用户发表的内容 图片来源：Magokoro0511. 推文截图[EB/OL]. X (原Twitter), 2016-09-25[引用日期：2026-03-03]. 膨胀电池实拍图 图片来源：Magokoro0511. 推文截图[EB/OL]. X (原Twitter), 2016-09-25[引用日期：2026-03-03]. 现代手机、电脑、平板等设备通常采用软包锂离子电池（锂聚合物电池），典型的软包锂离子电池由三层核心组件构成：正极、负极和隔膜，在结构上非常紧凑。其中，正极是涂有锂金属氧化物（如钴酸锂）的铝箔，负极是涂有石墨的铜箔，它们之间用一层允许锂离子通过的微孔隔膜隔开，整个结构浸润在电解液中。 锂离子电池结构示意图（从左至右：正极、隔膜、负极） 图片来源：Shi A. One Major Way Smartphone Batteries Can Catch Fire—and How to Prevent It[EB/OL]. iFixit, 2022-11-17[引用日期：2026-03-03]. 电池充电时，在外部电流的驱使下，锂离子脱离正极的晶格中（化学上称为脱嵌），游过中间的电解质，精准地钻进负极的晶格间隙里（称为嵌入）。此时，锂离子与碳原子紧密结合，形成了稳定的LiC₆结构；放电时，锂离子又从负极脱嵌，重新嵌入到正极的晶格间隙中。锂离子在固 ...
Hilbert第十问题的硬科普（五）：MRDP定理
作者：silverxz 校对：Acidmoon 本篇证明丢番图集等价于递归可枚举集。 我们已经说过，丢番图集是递归可枚举集这个方向是比较显然的。设有丢番图集SSS和对应的丢番图方程D(x1,...,xn,y1,...,ym)=0D(x_1,...,x_n,y_1,...,y_m)=0D(x1,...,xn,y1,...,ym)=0，对于(a1,...,an)∈Nn(a_1,...,a_n)\in \mathbb{N}^n(a1,...,an)∈Nn，只需令图灵机MMM不断地尝试所有y1,...,ymy_1,...,y_my1,...,ym是不是D(a1,...,an,y1,...,ym)=0D(a_1,...,a_n,y_1,...,y_m)=0D(a1,...,an,y1,...,ym)=0的解即可，若(a1,...,an)∈S(a_1,...,a_n)\in S(a1,...,an)∈S则总会停机。当然，解要以合理的方式枚举，保证任意可能的解都会在有限时间内被枚举到。 这里有一个微妙之处：给定一个SSS，我们并不知道DDD是什么。但是这样的DDD总是存在的，因此对应的图灵机MMM也总是存在的。 这样这个方向就证完了。我们真正关注的是如何证明每个递归可枚举集都是丢番图集。我们的证明方法是，构造丢番图函数和丢番图关系来模拟图灵机每一步的计算过程。这种方法其实并不罕见，如果读者学过基本的可计算理论，应当了解“计算历史方法”(computation history method)这种证明不可判定性的一类通用方法，我们这里用到的想法和那里差不多。 丢番图关系 虽然我们已经提过，丢番图关系无非和丢番图集是一回事，而丢番图函数也可以视为一种特殊的丢番图集/关系。但读者对此或许还没什么实际的感受，不知道我们可以做怎样的“构造”。因此 ...
Hilbert第十问题的硬科普（四）：基本概念、证明框架
作者：silverxz 校对：时光 我们开始进入真正的证明。这个证明并不是原始的证明，而是Matiyasevich大幅度简化后的证明(来自其著作Hilbert’s Tenth Problem)，因此会和我们介绍的历史中的路线不太一样。我们也会进一步简化一些论述，跳过一些过于繁琐但没有什么新东西的地方。我们的证明会频繁采用“倒叙”，从结论出发，描述证明这个结论需要什么工具，然后逐步填补这些工具。同时，我也会用大量的自然语言去感性描述证明过程、并阐述证明的动机。我认为这是更符合科普的讲法。 什么是Hilbert第十问题 我们先重新叙述我们要解决的问题。 丢番图方程是一个整系数多变量多项式方程，用 来表示。若我们不关心或已知其自变量，也将它简写做 D 。 我们关注的是这个方程有没有整数解。对于给定的 D ，这个答案为“是”或“否”的问题就称为“单一问题”，这个问题的信息就由 D 这个多项式本身确定。 每一个丢番图方程都确定了一个这样的单一问题。所有这样的单一问题放在一起，就构成了判定问题：是否存在一个算法（图灵机 M ），使给定任何一个丢番图方程 D ，M 都能给出 D 对应的单一问题（即 D 有没有整数解）的正确结果？ 这个问题就是Hilbert第十问题。我们的目标是：证明不存在这样的算法。 但实际上我们并不是真的去讨论算法，而是证明另一个命题： MRDP定理：丢番图集与递归可枚举集等价。 然后如我们熟知的（假如你不知道的话，我后面有一段关于递归集的简短叙述，你可以试试能不能看懂），存在不可判定的递归可枚举集，于是存在不可判定的丢番图集，也就存在一族不可判定有无整数解的丢番图方程。连其中一族丢番图方程的可解性都无法判定，自然就更不可能判定全部丢番图方程的可解性了，这就宣告Hilbert第十问题不可解。 本篇，我们会先给出丢番图方程的 ...
