格物社·在线图书馆

作者：ΔδDelta\Delta\delta DeltaΔδDelta 审核：白烟   曾有一篇名为《勾股：2.013》的科幻小说在多年前的网络上风靡，甚至直至今日也会有人想起这篇文章。作品末尾有一段话引人遐想： “不要从我们的角度去评价他们的智慧，也许我们的文明，也在某个更大的扭曲时空之中呢——你难道不觉得，圆周率 3.1416 ，也是个非常古怪的数吗？”   事实上，这篇小说存在的漏洞颇多，但其文学价值不应被否定，它也确实激发了不少人学习科学以及数学的兴趣。直至今日，我们仍能借此为引，来简单科普一下关于圆周率值的问题。   回首这句令人浮想联翩的话语，圆周率 π=3.1415926…\pi = 3.1415926 \dotsπ=3.1415926… 真的十分古怪吗？这个数字真的是因为扭曲时空才导致的吗？   两个问题都是 否定 的。实际上，无理数并不应因其没有规律可循就在美学上被人诟病——这也太不公平了。难道有人能给任何艺术总结出来一个规律吗？（场外音：AI绘画！！！这不就是找到了艺术的“规律”才能用机器画出来的吗？） 但定义这些AI的参数也是没有规律的呀？3202年了，神经网络的算法黑箱应该都知道吧？   第二个问题就更扯了。众所周知，我们的 3.14…3.14\dots3.14… 是在平面的圆上计算出来的。这个平面是什么？是数学上的二维欧几里得空间，而定义这个空间只需要在实数集里两两取数，并给出计算这些数对 (x,y)(x, y)(x,y) 之间“距离”的公式即可。任你时空曲率九曲十八弯，改变的也是物理“平面”：比如生活中我们觉得很平的桌子，其实是弯曲的，只不过时空曲率让它看起来像平的，.etc。但数学上的平面是被定义出来的，现实中存在的一切事物都不能也不可能改变数学概念。   “解铃还须系铃人”，如果真的想改变圆周率，那我们只能从数学定义上入手。在这里，我 ...

作者：丛雨 审核：时光 要把探测器送往火星，总共需几步？一般来讲，从地球发向其他行星的探测器的飞行过程大致分为三个阶段：火箭发射升空并绕地球运行、变轨加速以脱离地球引力前往目标行星、抵达后在目标行星上环绕或着陆。其中一三阶段时间短但步骤和细节繁杂，而二阶段将占据飞行器旅程的大部分时间。本文将从航天器的运动和轨道问题出发，介绍天体运动和变轨问题的一些简单知识。 三种宇宙速度 我们将首先从航天器的速度问题开始。 众所周知，水平方向抛出的物体，初速度越快，落点越远，当它的速度达到7.9 km/s时，便再也无法落回地面，将仅在地球引力的影响下环绕地球做匀速圆周运动。这便是地球的第一宇宙速度，是发射人造卫星的最小初速度，也是以圆轨道绕地球运动的最大线速度。 如果发射时初速度达到约11.2 km/s，即地球的第二宇宙速度时，飞行器就能恰好完全摆脱地球的引力，且之后无需加速。天体的第二宇宙速度又称逃逸速度，以逃逸速度从天体表面沿任何方向发射的无动力物体，在引力作用下速度会慢慢减小，当飞行至无穷远时速度恰好为 000 。逃逸速度是第一宇宙速度的 2\sqrt{2}2​ 倍，可用动能和引力势能（Ep=−GMm/rE_p = -GMm/rEp​=−GMm/r，无穷远处为势能零点）相互转化来计算，这一过程中，动能逐渐转换成引力势能，直到无穷远处双双为 000 。 第三宇宙速度是同时脱离地球和太阳引力所需的最小发射初速度，与方向任意的第二宇宙速度不同，它要求飞行器的初始运动方向必须与地球公转相同，从而可以借助地球公转的速度，减少燃料消耗。根据上文可知，地球轨道处太阳的逃逸速度是圆轨道速度29.8 km/s的 2\sqrt{2}2​ 倍，约42.1 km/s，因此飞行器除了需要二者相差的12.3 km/s对应的动能来脱离太阳引力，还需另外的11.2 km/s对应的动能以逃离地球，这两个动能数值 ...

作者：Thinker 审核：I 你希不希望拥有一个属于自己的博客/简历网站呢？在独属于我们的小空间里，我们可以自由地发挥想象力，打造出一片独一无二的世界。接下来，笔者将向各位读者介绍如何超快速、超简单地搭建个人博客/简历网站。 注册Github 什么是Github？Github是一个开源代码托管平台，用户可以在上面分享和管理项目。如果你还没有Github账号，那么在本节中笔者将会指导你如何注册一个新的Github账号。如果你已经有一个Github账号了，请直接跳过本节。 如何注册Github？ 打开Github网站 首先，打开你的浏览器，进入Github官网，网址是 https://github.com/。 填写注册表格 在Github网站首页，点击右上角的“Sign up”按钮，进入注册页面。在注册页面上，你需要填写以下信息：用户名、电子邮件地址和密码。请确保你使用的电子邮件地址是有效的，因为你需要通过电子邮件验证你的账号。填写完毕后，点击“Create an account”按钮。 验证你的邮箱地址 第二步完成之后，Github将会向你提供的电子邮件地址发送一封验证邮件。请检查你所填写的邮箱，在邮件中点击“Verify email address”按钮即可完成验证。 选择目标界面项目 不知道各位读者对个人博客/简历网站两个概念是否有所了解，笔者在此以两个常见的界面为例： 个人学术简历： https://github.com/academicpages/academicpages.github.io 该静态界面如下： 博客界面： https://github.com/klovien/klovien.github.io 该静态界面如下： 创建个人网站 在上一节中，点击链接进入对应的项目（学术简历界面为例），我们可以在项目页面的右上角找到“Fork ...

星际介质 作者：栗小白 审核：时光 引言 我们的宇宙中不仅仅有众多恒星与行星，在星际空间中还弥漫着密度极低的物质（远比地球上能制造的最好的真空环境还要稀薄的多），这些被称为星际介质的物质占据了行星之间的广阔空间。 星际介质 星际介质主要由气体和尘埃两部分组成。多数情况下，星际气体的元素丰度和其他天体非常类似，大部分气体（大约90%以上）都是氢原子或氢分子，还有大约9%为氦，剩下为重元素。我们对于星际尘埃并不是很了解，一些红外波段观测的证据显示，星际尘埃中包括硅酸盐，石墨和铁以及“脏冰”（由水、冰和氨、甲烷以及其他化合物组成的混合物）。 星际介质有两个重要的性质：消光和红化。接下来，我将为大家阐述这两个性质的成因。 消光 尘埃颗粒可以且只会吸收波长小于或约等于其半径的光。因此波长越短，收到尘埃阻挡的总量就会越多 。星际尘埃的直径大约为10^-7m，与可见光波长相当，因此星际尘埃对星光具有消弱作用。 红化 由于星际介质对于短波的阻挡能力强于长波辐射，因此在遥远的恒星光线中，频率更高的光子恒容易被星际介质“劫持”，使得恒星看起来比实际更红，这就是红化。原理如下图所示： 星云 发射星云 有许多种类的星云，它们在星空看起来是一团模糊的斑块。其中，发射星云是由炽热发光星际气体所构成的延展云块。发射星云与恒星的形成相关，炽热的O型星和B型恒星加热和电离周围环境中的星际物质，便产生了发射星云。如果星云遮挡了视线方向上后面的恒星，那么我们就会在明亮的天空背景上看到一小块黑色的区域，我们称之为暗云。但如果星云内部有一些天体，例如年轻的恒星，能使这团云发光，那么我们就能看到明亮的发射星云。 反射星云 与红色的发射星云相对应的，是蓝色的反射星云。这是因为反射星云中的尘埃颗粒将其 中发出的恒星光散射了，因而看起来偏蓝。发射星云是因为气体中心或附近的恒星在星云里产生了大 ...

作者：phy-东西 审核：时光 问题描述   “注水定理”解决的是信息论中的一个基本问题：以总容量最大化为目标的AWGN信道功率分配方案优化。该问题描述如下：有 KKK 个并联 AWGN 信道且噪相互声独立，噪声功率依次为 σ12,σ22,⋅⋅⋅,σK2σ^2_1,σ^2_2,··· ,σ^2_Kσ12​,σ22​,⋅⋅⋅,σK2​。总功率受限于 PPP，求出使 KKK 个并联信道功率最大化的功率分配方案。   写做优化问题格式为： max⁡p1,…,pK∑k=1Klog⁡2(1+pkσk2)s.t.∑k=1Kpk≤Ppk≥0,   k=1,2,…,K(1.1)\begin{aligned} &\max_{p_1, \dots , p_K}\sum^{K}_{k=1} \log_2 \left(1 + \frac{p_k}{\sigma ^2_k}\right)\\ \mathrm{s.t.}&\sum^K_{k = 1}p_k \le P\\ &p_k \ge 0, \ \ \ k = 1, 2, \dots , K\end{aligned} \tag{1.1}s.t.​p1​,…,pK​max​k=1∑K​log2​(1+σk2​pk​​)k=1∑K​pk​≤Ppk​≥0,   k=1,2,…,K​(1.1) 一个简单的证明   在这一节中我们给出一个比较便于理解的推导。   有的人可能觉得直接将所有功率分配到最好的（噪声功率最小的）信道里就可以，但信道容量的表达式是 Ck=log⁡2(1+pk/σk2)C_k = \log_2 (1 + p_k / σ^2_k)Ck​=log2​(1+pk​/σk2​)，随功率增加，增长的幅度越来越小，这种想法启发我们每次将功率分配到容量增长幅度最大的信道中。   假设我们已有一个初始功率分配方案 p ...

作者：锅炉-251 审核：时光 边界层理论的提出   “边界层理论”的概念最早可以追溯到十九世纪时的流体力学。当时的理论流体力学从无粘不可压缩的欧拉方程进行推导，由于忽视粘性影响导致理论与实验结果存在明显的矛盾，难以解释管路压将等问题。在当时其实已经提出了有摩擦的 纳维斯托克斯方程 ，但受限于数学水平无法求解方程，故理论与实际一直存在巨大误差。最后从实际出发发展出了 水力学 ，通过实验数据避开了理论分析。   在此基础上，普朗特 (Ludwig Prandtl) 提出了 边界层 的概念，在海德尔堡第三届国际数学家大会上发表了 “关于摩擦极小的流体运动” 一文。在该论文中，普朗特提出绕固体流动的流体可分为两个区域： 在物体表面很薄的一层，在其中粘性力起着重要作用 在该层外的主流区域，此处的摩擦可以忽略不记   “边界层”这一理论的提出，极大的化简了理论求解动量方程。 路德维格·普朗特   后来，在实验中科学家们发现，边界层具有以下特点： 与物体特征长度相比，边界层厚度远小于特征长度； 边界层内存在很大的速度梯度； 边界层厚度随流动方向增加； 边界层各截面压强等同于主流上的压强； 边界层内粘性力与惯性力位于同一量级； 边界层有层流和紊流两种状态； 边界层方程组   我们首先考虑二维定常不可压缩流动，规定沿流动方向为x轴，垂直壁面方向为y轴。   我们可以得到连续方程： ∂u∂x=∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ∂x∂u​=∂y∂v​   动量方程： u∂u∂x+v∂u∂y=UdUdx+γ∂2u∂y2u \frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = U\frac{dU}{dx} + ...

作者：栗小白(SDU) 审核：时光 题记   既然是“科普”，我们不写高深莫测的黑洞、量子力学、M理论（下次可就不一定不整这些了），也不整一些看不懂的数学符号或者名词唬人（这个请放心，肯定不会在鄙人的文章里出现，因为鄙人的数学也不好），甚至连公式都没有（之所以没有是因为太难print了）。这篇文章介绍了和恒星有关的最最最最最基本的概念和关于恒星的研究，还有更多方面就不赘述了。那么，正文正式开始！ Part 1 光度和视亮度   顾名思义，光度和视亮度这两个物理量表示的是星星有多亮，两者既有区别又有联系。 区别 光度是恒星的固有属性，与观察者的位置速度无关。光度也被称为绝对亮度。 视亮度测量的则是从地球上观测到的来自恒星的能量通量（单位面积单位时间内接收到的能量） 联系 用脚指头想一下，视亮度肯定是和星星本身有多亮（光度）和星星与我们之间的距离有关。那么视亮度和距离有什么关系呢？这又是一个平方反比律。我们看看下图的图解就非常容易理解了这个关系了。 视亮度和距离的关系图解   综上，我们发现恒星的视亮度和恒星的光度成正比，和距离的平方成反比。   想必各位天文爱好者或多或少都有用天文软件观星的经历，也大致理解天文软件上的星等的含义。不过作为一篇科普文章，我们还是要隆重介绍一下“视星等”这一概念。   和各位一样，天文学家们通常也是使用视星等标度来测量视亮度的，而不是使用国际单位（W/m2）。视星等这一概念可以追溯到公元前2世纪，由天文学家伊巴谷提出。伊巴谷最初将视星等分为6等（1,2,3,4,5,6），不过随着科学技术的发展，我们现在定义的视星等已经远不止6等了。视星等不仅可以是小数，可以是超过6的数，还可以是负数。不过视星等的规则依然是数值越小，视亮度越大。   设想一下，如果有一颗恒星非常亮，但它距离地球十分遥远，那么它的视星等可能还不如距离我们更 ...

触发器的原理和应用 作者：浮槎 审核：时光   要提到计算机的工作原理，就不得不提到一种电子装置：触发器。触发器主要由两个电子管组成，当电流通过触发器时会通过其中一个电子管。触发器一共有四个接触点，其中两个用来接收外部脉冲，另外两个用来输出回答脉冲。外部脉冲输入的瞬间，触发器就会“翻转”，使原本导通的电子管变成闭合状态，电流转而进入另一个电子管。当一边电子管闭合、另一边电子管导通的瞬间，触发器就会输出回答脉冲。   现在我们给触发器连续不断地输入脉冲，并根据图1中两根电子管其中的一根——右侧的电子管的状态来确定触发器的状态：当右侧电子管闭合时，设定触发器是「0 状态」；当右侧电子管导通时，设定触发器是「1 状态」。   如果触发器的初始状态为「0 状态」，即右侧电子管为闭合状态时（如图 1所示），那么输入第一个脉冲后，右侧电子管导通，触发器翻转成「1 状态」。此时，触发器不会输出回答脉冲，因为左侧电子管并未导通。接下来，当我们输入第二个脉冲时，左侧电子管导通，右侧电子管闭合，触发器翻转为「0 状态」，输出回答脉冲。   通过观察可以发现，经过两次输入脉冲之后触发器回到了原始状态。接着继续输入第三个脉冲，触发器变成了「1 状态」，再输入第四个脉冲，触发器又变成「0 状态」……也就是说，触发器的状态是以2个脉冲为周期进行循环的。 图1   如果将多个触发器相互连接会发生什么事呢？以三个触发器：触发器1、触发器2、触发器3相连为例（如图 2 ），给触发器1输入脉冲信号，之后触发器1的回答脉冲会作为触发器2的输入脉冲，触发器2的回答脉冲之后又会作为触发器3的输入脉冲，最后触发器3产生回答脉冲。 图2   假设一共有 5 个触发器相互连接，最初的状态都为「0 状态」，我们可以把这个触发器组的状态标记为「00000」。给最右边的触发器输入第一个脉冲后，该触发器的状态变为「1 ...

纠缠态——从理论到技术 Alain Aspect、John Clauser和Anton Zeilinger用纠缠量子态进行了开创性的实验。在纠缠量子态中，即使两个粒子分离，它们也表现得像一个单独的单元。他们的研究结果为基于量子信息的新技术扫清了道路。 量子力学的不可言喻的效应正在开始得到应用。现在有一个很大的研究领域，包括量子计算机、量子网络和安全的量子加密通信。 这一进展的一个关键因素是，量子力学如何允许两个或多个粒子以所谓的纠缠态存在。纠缠对中的一个粒子发生的情况决定了另一个粒子发生的情况，即使它们相距很远。 在很长一段时间里，问题在于这种相关性是否是因为纠缠对中的粒子包含隐藏变量，即告诉它们在实验中应该给出哪个结果的指令。20世纪60年代，John Stewart Bell提出了以他的名字命名的数学不等式。这表明，如果存在隐藏变量，那么大量测量结果之间的相关性将永远不会超过某个值。然而，量子力学预测，某种类型的实验将违反贝尔不等式，从而产生比其他情况下更强的相关性。 John Clauser发展了John Bell的想法，开展了一个实际的实验。当他进行测量时，它们显然违反了贝尔不等式，从而支持了量子力学。这意味着量子力学不能被使用隐变量的理论所取代。 在John Clauser的实验之后，仍然存在一些漏洞。Alain Aspect发展了这个设置，利用它堵住了一个重要的漏洞。他能够在一个纠缠对离开它的源后切换测量设置，所以当它们被发射时存在的设置不会影响结果。 通过精密的工具和一系列的实验，Anton Zeilinger开始使用纠缠量子态。 而且，他的小组还展示了一种被称为量子隐形传态的现象，这种现象使得量子态在一定距离内从一个粒子移动到另一个粒子成为可能。 “越来越明显，一种新的量子技术正在出现。我们可以看到，获奖者对纠缠态的研究非常重要，甚至超越了解释量子力学的基 ...

简介 人类一直对自己的起源感到好奇：我们究竟从何而来？我们（智人）与那些在我们之前出现的人类又有什么关系？是什么使智人与其他人类不同？ 通过Svante Pääbo教授的开创性研究，他完成了一些看似不可能的事情：对人类的一个已灭绝的亲戚——尼安德特人的基因组进行测序。不仅如此，他还轰动性地发现了一个以前不为人知的人种–丹尼索瓦人(Denisova)。重要的是，Pääbo还发现，这些现已灭绝的人种在大约7万年前离开非洲后，他们的基因转移到了智人身上。这种古老的基因存在于现今人类的体内，并具有生理上的意义，例如影响我们的免疫系统对感染的反应等。 Pääbo的开创性研究催生了一门全新的学科：古基因组学(paleogenomics)。通过揭示区分所有活人和已灭绝人种的基因差异，他的发现为探索什么使智人成为独特的人类提供了基础。 我们从哪里来？ 自古以来，我们从何而来、我们为何独特的问题一直困扰着人类。古生物学和考古学对人类进化的研究非常重要，相关研究提供的证据表明解剖学上的现代人（即智人）最早出现在大约30万年前的非洲。而我们已知的最接近的亲属——尼安德特人，在非洲以外的地方发展起来，从大约40万年前到3万年前在欧洲和西亚居住，在那之后他们灭绝了。大约7万年前，智人群体从非洲迁移到中东，并从那里扩散到世界其他地区。因此，智人和尼安德特人在欧亚大陆的大部分地区共存了数万年。但是我们对智人与已灭绝的尼安德特人之间的关系了解多少呢？线索可能来自于基因组信息。到20世纪90年代末，几乎全部人类基因组都已被测序。这是一个相当大的成就，使科学家们得以在后来对不同人类种群之间的遗传关系进行了研究。然而，对现今人类和已灭绝的尼安德特人之间关系的研究需要对从古人标本中提取的基因组DNA进行测序。 一个看似不可能的任务 在科研生涯早期，Svante Pääbo就对利用现代遗传学方法研究尼安德特人 ...